pq-Formel Schritt für Schritt: Quadratische Gleichungen sicher lösen
Die pq-Formel verständlich erklärt für Klasse 9–10: Normalform herstellen, p und q ablesen, Diskriminante deuten. Mit Beispiel, Merkhilfe und typischen Fehlern.
Irgendwann reicht Wurzelziehen und Ausklammern nicht mehr. Bei einer Gleichung wie x² + 2x − 8 = 0 braucht es ein Werkzeug, das immer funktioniert. Genau das ist die pq-Formel. Sie wirkt auf den ersten Blick sperrig, ist aber nichts anderes als ein fester Ablauf, der sich in wenigen Schritten sicher anwenden lässt.
Wann brauche ich die pq-Formel?
Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in der Normalform:
x² + px + q = 0
Wichtig ist dabei: Vor dem x² darf keine Zahl stehen. Die Lösungen heißen auch Nullstellen, weil sie zeigen, wo die zugehörige Parabel die x-Achse schneidet.
Die Formel
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Das „±“ bedeutet: Es gibt zwei Rechnungen, einmal mit Plus und einmal mit Minus. So entstehen bis zu zwei Lösungen.
Schritt für Schritt am Beispiel
Gelöst werden soll x² + 2x − 8 = 0.
- Normalform prüfen: Vor dem x² steht keine Zahl, also passt es.
- p und q ablesen: p = 2 und q = −8. Das Vorzeichen gehört immer dazu.
- p/2 berechnen: p/2 = 1.
- Unter der Wurzel rechnen: (p/2)² − q = 1 − (−8) = 9.
- Wurzel ziehen: √9 = 3.
- Beide Lösungen bestimmen: x₁ = −1 + 3 = 2 und x₂ = −1 − 3 = −4.
Die Probe zeigt: 2² + 2 · 2 − 8 = 0 und (−4)² + 2 · (−4) − 8 = 0. Beide Lösungen stimmen.
Was die Diskriminante verrät
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = (p/2)² − q. Schon bevor man fertig rechnet, sagt sie, wie viele Lösungen es gibt:
| Diskriminante | Anzahl der Lösungen | Bedeutung am Graphen |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei | Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. |
| D = 0 | eine | Die Parabel berührt die x-Achse. |
| D < 0 | keine | Die Parabel verläuft ganz über oder unter der x-Achse. |
Typische Fehler
- Normalform vergessen: Bei 2x² + 4x − 6 = 0 zuerst durch 2 teilen. Sonst stimmen p und q nicht.
- Vorzeichen bei q: Aus „− 8“ wird q = −8, unter der Wurzel also „+ 8“. Das ist die häufigste Fehlerquelle.
- Minus vor p/2: Die Formel beginnt mit −p/2. Ist p negativ, wird daraus eine positive Zahl.
Merkhilfe: Erst Normalform, dann p und q mit Vorzeichen aufschreiben, dann rechnen.
pq-Formel oder abc-Formel?
In manchen Bundesländern wird statt der pq-Formel die abc-Formel (Mitternachtsformel) unterrichtet. Sie funktioniert auch dann, wenn vor dem x² eine Zahl steht, und erspart das Teilen. Beide führen zum selben Ergebnis. Entscheidend ist, dass die Klasse ein Verfahren wirklich sicher beherrscht.
Material für deinen Unterricht
Das Arbeitsheft Nullstellen & pq-Formel übt den Ablauf in drei Niveaus mit Lösungen, vom Ablesen am Graphen bis zur Diskriminante. Davor lohnt sich Gleichungen ohne Formel, danach die Anwendungsaufgaben, in denen die pq-Formel bei Wurfbahnen und Brückenbögen zum Einsatz kommt.